盈亏问题 · 两次分配对比法

经典例题

幼儿园分苹果。每人分 5 个，还剩 4 个；每人分 7 个，还差 6 个。 问：有几个小朋友？有几个苹果？

核心思路：两次分配对比差额

盈亏问题（也叫“分配问题”）的诀窍是比较两次分配的差别：

1. 画两次分配图：第一次每人 5 个剩 4 个；第二次每人 7 个差 6 个
2. 找差额：从剩 4 个到差 6 个，一共“多出来” 4 + 6 = 10 个苹果的需求
3. 每人多几个：每人从 5 个变 7 个，每人多分 2 个
4. 求人数：10 ÷ 2 = 5 人
5. 求总数：5 × 5 + 4 = 29 个

🎯 一句话记忆：人数 = (盈 + 亏) ÷ 每人多分数

解题过程（可视化演示）

上面交互演示中，你能看到两次分配的画面：每人 5 个剩 4 个 → 每人 7 个差 6 个 → 对比发现每人多 2 个、总共多需 10 个 → 人数 5、苹果 29。

公式化模板（四种情形）

① 一盈一亏：人数 = (盈 + 亏) ÷ (两次每人分得的差)
② 两盈：    人数 = (大盈 − 小盈) ÷ (两次每人分得的差)
③ 两亏：    人数 = (大亏 − 小亏) ÷ (两次每人分得的差)
④ 一盈一尽：人数 = 盈 ÷ (两次每人分得的差)

变式练习

1. 宿舍：每间住 6 人，多 22 人；每间住 8 人，则空 2 间。求房间数和人数。

   提示：先转化“空 2 间”= 差 16 人 → (22+16)÷2 = 19 间

2. 购物：买每本 3 元的书，剩 12 元；买每本 4 元的书，差 3 元。带了多少钱？

   本数 = (12+3)÷(4−3) = 15 本，钱 = 15×3+12 = 57 元

3. 两盈：分铅笔，每人 5 支剩 14 支，每人 7 支剩 2 支。

   人数 = (14−2)÷2 = 6 人

为什么这个方法最牛？

盈亏问题是**“比较两次方案”思想的代表作**——现实中很多问题（预算、排班、分货）都是这个结构。它和鸡兔同笼一样，是训练“差值思维”的关键题。